Основы векторного исчисления

Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве либо в плоскости. Векторы обычно обозначаются или малеханькими знаками, или исходной и конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.

К примеру, вектор, направленный из точки A к Основы векторного исчисления точке B, можно обозначить a,

__

Нулевой вектор 0 либо 0 - это вектор, у которого исходная и конечная точки совпадают, т.e. A = B. Отсюда, 0 = – 0.

Длина (модуль) вектора a - это длина отображающего его отрезка Основы векторного исчисления AB, обозначается | a |. А именно, | 0 | = 0.

Векторы именуются коллинеарными, если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы a и b обозначаются a || b.

Три и поболее векторов именуются компланарными, если они лежат в одной Основы векторного исчисления плоскости.

Сложение векторов. Потому что векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение векторов изложено ниже, в пт «Единичные ортогональные векторы»). Представим, что

__ __

a = AB and b = CD ,

тогда Основы векторного исчисления вектор __ __

a + b = AB + CD

есть итог выполнения 2-ух операций:

a) параллельного переноса одногоиз векторов таким макаром, чтоб его исходная точка совпала с конечной точкой второго вектора;

б) геометрического сложения, т.е Основы векторного исчисления. построения результирующего вектора, идущего от исходной точки недвижного вектора к конечной точкеперенесённого вектора.

Вычитание векторов. Эта операция сводится к предшествующей оковём подмены вычитаемого вектора на обратный: a b = a + ( – b ) .

Законы сложения.

I. a Основы векторного исчисления + b = b + a ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон ).

II. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( С о ч е т а т е Основы векторного исчисления л ь н ы й закон ).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Законы умножения вектора на число.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m · 0 = 0 , ( –1 ) · a = – a .

II. m a = a m Основы векторного исчисления , | m a | = | m | · | a | .

III. m ( n a ) = ( m n ) a . ( С о ч е т а т е л ь н ы й

закон умножения на число ).

IV. ( m Основы векторного исчисления + n ) a = m a + n a , ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й

m ( a + b ) = m a + m b . закон умножения на число ).


Скалярное произведение векторов Основы векторного исчисления. __ __

Угол меж ненулевыми векторами AB и CD – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b именуется число, равное произведению их длин на Основы векторного исчисления косинус угла меж ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в согласовании с определением равно нулю:

( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла меж ними рассчитывается по формуле Основы векторного исчисления:

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, именуется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение 2-ух векторов:

- положительно, если угол меж векторами острый ;

- негативно, если угол меж векторами Основы векторного исчисления тупой .

Скалярное произведение 2-ух ненулевых векторов равно нулю и тогда только тогда, когда угол меж ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Характеристики скалярного произведения. Для всех векторов a Основы векторного исчисления , b , c и хоть какого числа m справедливы последующие соотношения:

I. ( a , b ) = ( b , a ) . ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )

II Основы векторного исчисления. ( m a , b ) = m ( a , b ) .

III. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ). ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы Основы векторного исчисления й закон )

Единичные ортогональные векторы. В хоть какой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i, j и k, связанные с координатными осями: i – с осью Х, j – с осью Y и k – с осью Основы векторного исчисления Z. В согласовании с этим определением:

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0,

| i | = | j | = | k | = 1.

Хоть какой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи Основы векторного исчисления: a = ( x, y, z ). Здесьx, y, z - координаты вектора a в этой системе координат. В согласовании с последним соотношением и качествами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение 2-ух векторов можно выразить по Основы векторного исчисления другому.

Пусть a = ( x, y, z ); b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw.

Скалярное произведение 2-ух векторов равно сумме произведений соответственных координат.

Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z ) равна:


Не считая Основы векторного исчисления того, сейчас мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а конкретно, сложение и вычитание векторов можетвыполняться по координатам:

a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;

a b = ( x – u , y – v Основы векторного исчисления , z – w ) .

Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a, b] векторов a и b ( в обозначенном порядке ) именуется вектор:


Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :

/\

| [ a, b ] | = | a | | b | sin ( a, b ) ,

т.e. длина ( модуль Основы векторного исчисления ) векторного произведения векторов a и b равна произведению длин ( модулей ) этих векторов на синус угла меж ними.По другому говоря: длина ( модуль ) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на Основы векторного исчисления векторах a и b .

Характеристики векторного произведения.

I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам a и b.

( Обоснуйте это, пожалуйста ! ) .

II. [ a , b ] = – [ b , a ] .

III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .

IV. [ a + b Основы векторного исчисления , c ] = [ a , c ] + [ b , c ] .

V. [ a , [ b , c ] ] = b ( a , c ) – c ( a , b ) .

VI. [ [ a , b ] , c ] = b ( a , c ) – a ( b , c ) .

Нужное и достаточное условие коллинеарности векторов a = ( x, y, z ) и b = ( u, v Основы векторного исчисления, w ) :

Нужное и достаточное условие компланарности векторов a = ( x, y, z ), b = ( u, v, w ) и c = ( p, q, r ) :


П р и м е р . Даны векторы: a = ( 1, 2, 3 ) и b = ( – 2 , 0 ,4 ).

Вычислить их скалярное Основы векторного исчисления и векторное произведения и угол

меж этими векторами.

Р е ш е н и е . Используя надлежащие формулы (см. выше), получим:

a). скалярное произведение:

( a , b ) = 1 · ( – 2 ) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

б). векторное произведение:


osnovn-risi-vdrodzhennya-jogo-gumanstichnij-zmst-referat.html
osnovn-tipograf-ros.html
osnovnaya-cel-itogi-realizacii-strategii-razvitiya-goroda-do-2012-goda-cherepovec-gorod-liderov-4.html